ЛЕКЦІЯ 6 Ряди у комплексній площині § 1. Числові ряди. Збіжність. Ознаки збіжності. Абсолютна збіж-ність Нехай задано числову послідовність комплексних чисел

. Числовим рядом у комплексній площині називають вираз виду
. (1.1) Ряд (1.1) називається збіжним, якщо збігається числова послідовність
частинних сум
. При цьому границю
називають сумою ряду (1.1). Оскільки
, то для збіжності ряду (1.1) необхідно і достатньо, щоб збігалися числові ряди, побудовані з дійсних
та уявних
частин. Ряд
(1.2) називають m-им залишком числового ряду (1.1) Якщо ряд (1.1) є збіжним, то
і для
. Критерій Коші (необхідна і достатня умова збіжності числового ряду):
, (1.3) Це прямий наслідок критерію Коші для збіжної числової послідовності. Необхідною умовою збіжності числового ряду (1.1) є умова
. Справді, якщо існує
, то внаслідок виконання критерію Коші (для
)
, звідки випливає, що
. Числовий ряд (1.1) називають абсолютно збіжним, якщо збігається числовий ряд
, побудований з абсолютних величин
. Якщо числовий ряд (1.1) є абсолютно збіжним, то він є і збіжним, але не навпаки. Справді, з нерівності
випливає, що якщо виконується критерій Коші для ряду
, то критерій Коші виконується і для ряду (1.1). Якщо ряд (1.1) є збіжним, а ряд
– розбіжним, то кажуть, що ряд (1.1) є умовно збіжним. Оскільки ряд
є рядом з додатними членами, то для дослідження його на збіжність використовують всі ознаки збіжності рядів з додатними членами: ознаку порівняння, ознаку Даламбера, ознаку Коші. Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд
. ▪ Оскільки
, то дослідимо на збіжність ряди
і
. Для послідовностей
не виконується необхідна умова збіжності ряду. Тому ряди
і
є розбіжними, а значить і ряд
є розбіжним.▪ Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд
. ▪ Дослідимо ряд на абсолютну збіжність. Оскільки
, то
. За ознакою Даламбера
, тобто ряд
є збіжним, отже, за ознакою порівняння ряд
є також збіжним. Отже, ряд
збігається абсолютно і є збіжним рядом.▪ Збіжні числові ряди в комплексній площині володіють всіма властивостями збіжних числових рядів з дійсними членами. § 2. Функціональні ряди. Область збіжності. Рівномірна збіжність. Властивості рівномірно збіжних функціональних рядів Нехай в області
визначено функціональну послідовність
однозначних функцій комплексної змінної
. Функціональним рядом називають вираз
. (2.1) Очевидно, що для всіх фіксованих
ряд (2.1) перетворюється у числовий ряд (1.1). Функціональний ряд (2.1) називають збіжним в області
, якщо для
відповідний йому числовий ряд є збіжним. Якщо функціональний ряд є збіжним в області
, то в цій області можна означити однозначну функцію
, значення якої в кожній точці
дорівнює сумі відповідного числового ряду, тобто
. Це означає, що для
. Область
у цьому випадку називають областю збіжності функціонального ряду. Як і на множині дійсних чисел, важливе місце в теорії функцій комплексної змінної займає поняття рівномірної збіжності. Функціональний ряд (2.1) рівномірно збігається до своєї суми
в області
тоді і тільки тоді, коли
(2.2) або
, (2.3) де
– залишок функціонального ряду. Теорема 2.1. Для того, щоб функціональний ряд (2.1) був збіжним (рівно-мірно збіжним) в області
до своєї суми
, необхідно і достат-ньо, щоб в області
були збіжними (рівномірно збіжними) до функцій
функціональні ряди
і
, де

. Використовуючи означення збіжності (рівномірної збіжності) функці-онального ряду і нерівності

, теорема легко доводиться. Достатня ознака збіжності функціонального ряду Теорема 2.2 (ознака Вейєрштрасса). Функціональний ряд (2.1) збігається в області
рівномірно та абсолютно, якщо існує збіжний числовий ряд
з додатними членами такий, що
. (2.4) Доведення. ► За умовами теореми ряд
збігається:
. Внаслідок рівномірної оцінки
, всюди в області
для
виконується нерівність
, а це означає, що ряд (2.1) є абсолютно і рівномірно збіжним. ◄ Ряд
називають мажорантою...